Cho \(\Delta ABQ\)vuông tại A với \(AB=1\). Trên cạnh AQ lấy 3 điểm M, N, P sao cho \(AM< AN< AP\), biết rằng \(4AM 3MN 2NP PQ=4\). Chứng minh rằng \(\frac{AM}{BN^2} \frac{AN}{BP^2} \frac{AP}{BQ^2} \f...

2

TL

Tran Le Khanh Linh

5 tháng 4 2020

a) Gọi E là trung điểm BK

Chứng minh được QE là đường trung bình \(\Delta\)KBC nên QE//BC => QE _|_ AB (vì BC_|_AB) và \(QE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD\)

Chứng minh AM=QE và AM//QE => Tứ giác AMQE là hình bình hành

Chứng minh AE//NP//MQ (3)

Xét \(\Delta AQB\)có BK và QE là 2 đường cao của tam giác

=> E là trực tâm tam giác nên AE là đường cao thứ 3 của tam giác AE _|_ BQ

=> BQ _|_ NP

b) Vẽ tia Ax vuông góc với AF. Gọi giao Ax và CD là G

Chứng minh \(\widehat{GAD}=\widehat{BAP}\)(cùng phụ \(\widehat{PAD}\))

=> \(\Delta\)ADG ~ \(\Delta\)ABP (gg) => \(\frac{AP}{AG}=\frac{AB}{AD}=2\Rightarrow AG=\frac{1}{2}AP\)

Ta có \(\Delta\)AGF vuông tại A có AD _|_ GF nên AG.AF=AD.GF(=2S_AGF)

=> \(AG^2\cdot AF^2=AD^2\cdot GF^2\left(1\right)\)

Ta chia cả 2 vế củ (1) cho \(AD^2\cdot AG^2\cdot AF^2\)

Mà \(AG^2+AF^2=GF^2\)(định lý Pytago)

\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AG^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{1}{2}AB\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}AP\right)^2}+\frac{1}{AF^2}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{AB^2}=\frac{4}{AP^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{4AF^2}\)

PT

Phạm Thị Thùy Trang

5 tháng 4 2020

Cảm ơn nhiều ạ!

cho hcn ABCD ;AB=2AD. trên cạnh AD lấy M ,trên cạnh BC lấy P sao cho AM=CP .kẻ BH vuông góc vs AC tại H .gọi Q là trung điểm của CH ,đường thẳng kẻ qua P song song vs MQ cắt AC tại Na) chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hànhb) khi M là trung điểm AD .chứng minh BQ vuông góc vs NP c) đường thẳng AP cắt DC tại điểm F . chứng minh...

DT

Đỗ Thị Trà My

1 tháng 5 2020

0

GF

『ღƤℓαէїŋʉɱ ₣їɾεツ』

28 tháng 3 2019

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2.CM: ∆CBH~∆EAH
3. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)

1

PM

Phùng Minh Quân

26 tháng 4 2019

\(a)\) Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông BAF có :

\(AD=AB\) ( do ABCD là hình vuông )

\(\widehat{DAM}=\widehat{ABF}\) \(\left(=90^0-\widehat{BAF}\right)\)

Do đó : \(\Delta ADM=\Delta BAF\) ( cạnh góc vuông - góc nhọn )

Suy ra : \(DM=AF\) ( 2 cạnh tương ứng )

Mà \(AE=AF\)(GT) \(\Rightarrow\)\(DM=AE\)

Tứ giác AEMD có : \(DM=AE\)\(;\)\(DM//AE\) ( do \(AB//CD\) ) và có \(\widehat{ADC}=90^0\) nên AEMD là hình chữ nhật

Vậy AEMD là hình chữ nhật

\(b)\) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HFA\) có :

\(\widehat{ABH}=\widehat{FAH}\) ( do \(\widehat{ABF}=\widehat{DAM}\) theo câu a ) *(góc DÂM -_- haha)*

\(\widehat{BHA}=\widehat{AHF}\) \(\left(=90^0\right)\)

Do đó : \(\Delta HAB~\Delta HFA\) \(\left(g-g\right)\)

Suy ra : \(\frac{HB}{AH}=\frac{AB}{AF}\) ( các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Mà \(AB=BC;AF=AE\left(=DM\right)\) nên \(\frac{HB}{AH}=\frac{BC}{AE}\)

Lại có : \(\widehat{HAB}=90^0-\widehat{FAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{HBC}\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)

Xét \(\Delta CBH\) và \(\Delta EAH\) có :

\(\frac{HB}{AH}=\frac{BC}{AE}\)

\(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)

Do đó : \(\Delta CBH~\Delta EAH\) \(\left(c-g-c\right)\)

Vậy \(\Delta CBH~\Delta EAH\)

\(c)\) \(\Delta ADM\) có \(CN//AD\) và cắt \(AM;DM\) nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có :

\(\frac{CN}{AD}=\frac{MN}{AM}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD}{AM}=\frac{CN}{MN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD^2}{AM^2}=\frac{CN^2}{MN^2}\) \(\left(1\right)\)

\(\Delta ABN\) có \(CM//AB\) và cắt \(AN;BN\) nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có :

\(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AB}\) hay \(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AD}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD}{AN}=\frac{MC}{MN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD^2}{AN^2}=\frac{MC^2}{MN^2}\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{AD^2}{AM^2}+\frac{AD^2}{AN^2}=AD^2\left(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\right)=\frac{CN^2}{MN^2}+\frac{MC^2}{MN^2}=\frac{CN^2+MC^2}{MN^2}=\frac{MN^2}{MN^2}=1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\) ( đpcm )

Vậy \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)

NH

nguyễn hoàng dương

27 tháng 4 2022

ô kìa *(góc DÂM -_- haha)*

Cho hình vuông ABCD ,trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF ) , AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M,Na, Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhậtb, Biết diện tích tam giác BCH gấp 4 lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng :AC=2EFc, Chứng minh...

NT

Nguyễn Thị Ngọc Mai

10 tháng 3 2019

0

AP

Aura Phạm

2 tháng 2 2018

cho hình vuông ABCD. trên cạnh BC lấy M bất kỳ. gọi P là giao điểm của AM và CD. chứng minh rằng \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\)

1

DD

Đinh Đức Hùng

2 tháng 2 2018

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PDA\) có :

\(\widehat{B}=\widehat{D}=90^0\left(gt\right);\widehat{A_1}=\widehat{P_1}\left(SLT\right)\) \(\Rightarrow\) \(\Delta ABM\) Đồng dạng với \(\Delta PDA\) (g - g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{PD}{AP}\)(1)

Ta lại có \(\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AP}\)(2)

\(\Delta ADP\) Vuông tại D \(\Rightarrow AD^2+DP^2=AP^2\)(3)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AP^2}=\frac{PD^2}{AP^2}+\frac{AD^2}{AP^2}=\frac{PD^2+AD^2}{AP^2}=\frac{AP^2}{AP^2}=1\)

\(\Leftrightarrow AB^2\left(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{AB^2}\)(ĐPCM)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minhrằng: AC = 2EF.3. Chứng minh rằng:...

MT

Minh Triều

15 tháng 5 2015